復(fù)變函數(shù)論主要包括單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面的內(nèi)容。如果當函數(shù)的變量取某一定值的時候，函數(shù)就有一個唯一確定的值，那么這個函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項式就是這樣的函數(shù)。復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)的主要工具。由許多層面安放在一起而構(gòu)成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，可以使多值函數(shù)的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函數(shù)在黎曼曲面上就變成單值函數(shù)。黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間的一座橋梁，能夠使人們把比較深奧的函數(shù)的解析性質(zhì)和幾何聯(lián)系起來。關(guān)于黎曼曲面的研究還對另一門數(shù)學(xué)分支拓撲學(xué)有比較大的影響，逐漸地趨向于討論它的拓撲性質(zhì)。復(fù)變函數(shù)論中用幾何方法來說明、解決問題的內(nèi)容，一般叫做幾何函數(shù)論，復(fù)變函數(shù)可以通過共形映象理論為它的性質(zhì)提供幾何說明。導(dǎo)數(shù)處處不是零的解析函數(shù)所實現(xiàn)的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角變換。共形映象在流體力學(xué)、空氣動力學(xué)、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。留數(shù)理論是復(fù)變函數(shù)論中一個重要的理論。留數(shù)也叫做殘數(shù)，它的定義比較復(fù)雜。應(yīng)用留數(shù)理論對于復(fù)變函數(shù)積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函數(shù)定積分，可以化為復(fù)變函數(shù)沿閉回路曲線的積分后，再用留數(shù)基本定理化為被積分函數(shù)在閉合回路曲線內(nèi)部孤立奇點上求留數(shù)的計算，當奇點是極點的時候，計算更加簡潔。把單值解析函數(shù)的一些條件適當?shù)馗淖兒脱a充，以滿足實際研究工作的需要，這種經(jīng)過改變的解析函數(shù)叫做廣義解析函數(shù)。廣義解析函數(shù)所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函數(shù)的一些基本性質(zhì)，只要稍加改變后，同樣適用于廣義解析函數(shù)。在二次、三次代數(shù)方程求根的公式中就出現(xiàn)了形為式一的一類數(shù)，其中α，b是實數(shù)。式二在實數(shù)范圍內(nèi)是沒有意義的，因此在很長時間里這類數(shù)不能為人們所理解。R·笛卡兒曾稱之為虛數(shù)。但是隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這類數(shù)的重要性就日益顯現(xiàn)出來。例如，每一個代數(shù)方程在此數(shù)域內(nèi)至少有一個根，這就是代數(shù)學(xué)的基本定理。有時也稱它為達朗貝爾定理，而最初的嚴格證明則是由CF高斯給出的。后來人們習慣以i表示，并且稱α+bi為復(fù)數(shù)。在復(fù)數(shù)α+bi與平面上的點(α，b)之間可以建立一一對應(yīng)。 L歐拉在初等函數(shù)中引進了復(fù)變數(shù)，并給出了著名的歐拉公式 e^ix=cosx+isinx。歐拉公式揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)間的聯(lián)系。