大連市2022~2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)如下：

一、選擇題

1．某年級(jí)有6個(gè)班，分別派3名語(yǔ)文教師任教，每個(gè)教師教2個(gè)班，則不同的任課方法種數(shù)為( )

A．C26C24C22 B．A26A24A22

C．C26C24C22C33

[答案] A

2．從單詞“equation”中取5個(gè)不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相連且順序不變)的不同排法共有( )

A．120種 B．480種

C．720種 D．840種

[答案] B

[解析] 先選后排，從除qu外的6個(gè)字母中任選3個(gè)字母有C36種排法，再將qu看成一個(gè)整體(相當(dāng)于一個(gè)元素)與選出的3個(gè)字母進(jìn)行全排列有A44種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同排法共有C36A44＝480(種)．

3．從編號(hào)為1、2、3、4的四種不同的種子中選出3種，在3塊不同的土地上試種，每塊土地上試種一種，其中1號(hào)種子必須試種，則不同的試種方法有( )

A．24種 B．18種

C．12種 D．96種

[答案] B

[解析] 先選后排C23A33＝18，故選B.

4．把0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)，每次取三個(gè)不同的數(shù)字，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有( )

A．40個(gè) B．120個(gè)

C．360個(gè) D．720個(gè)

[答案] A

[解析] 先選取3個(gè)不同的數(shù)有C36種方法，然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另兩個(gè)不同的數(shù)放在十位和個(gè)位上，有A22種排法，故共有C36A22＝40個(gè)三位數(shù)．

5．(2010湖南理，7)在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為( )

A．10 B．11

C．12 D．15

[答案] B

[解析] 與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類(lèi)：

第一類(lèi)：與信息0110只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C24＝6(個(gè))

第二類(lèi)：與信息0110只有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C14＝4(個(gè))

第三類(lèi)：與信息0110沒(méi)有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有C04＝1(個(gè))

與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6＋4＋1＝11(個(gè))

6．北京《財(cái)富》全球論壇開(kāi)幕期間，某高校有14名志愿者參加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開(kāi)幕式當(dāng)天不同的排班種數(shù)為( )

A．C414C412C48 B．C1214C412C48

D．C1214C412C48A33

[答案] B

[解析] 解法1：由題意知不同的排班種數(shù)為：C414C410C46＝14×13×12×114！10×9×8×74！6×52?。紺1214C412C48.

故選B.

解法2：也可先選出12人再排班為：C1214C412C48C44，即選B.

7．(2009湖南理5)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為( )

A．85 B．56

C．49 D．28

[答案] C

[解析] 考查有限制條件的組合問(wèn)題．

(1)從甲、乙兩人中選1人，有2種選法，從除甲、乙、丙外的7人中選2人，有C27種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2C27＝42種．

(2)甲、乙兩人全選，再?gòu)某獾钠溆?人中選1人共7種選法．

由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知共有不同選法42＋7＝49種．

8．以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有( )

A．6個(gè) B．12個(gè)

C．18個(gè) D．30個(gè)

[答案] B

[解析] C46－3＝12個(gè)，故選B.

9．(2009遼寧理，5)從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有( )

A．70種 B．80種

C．100種 D．140種

[答案] A

[解析] 考查排列組合有關(guān)知識(shí)．

解：可分兩類(lèi)，男醫(yī)生2名，女醫(yī)生1名或男醫(yī)生1名，女醫(yī)生2名，

∴共有C25C14＋C15C24＝70，∴選A.

10．設(shè)集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．選擇Ⅰ的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有( )

A．50種 B．49種

C．48種 D．47種

[答案] B

[解析] 主要考查集合、排列、組合的基礎(chǔ)知識(shí)．考查分類(lèi)討論的思想方法．

因?yàn)榧螦中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素從1、2、3、4中取，B中元素從2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一個(gè)元素．

1° 當(dāng)A＝{1}時(shí)，選B的方案共有24－1＝15種，

當(dāng)A＝{2}時(shí)，選B的方案共有23－1＝7種，

當(dāng)A＝{3}時(shí)，選B的方案共有22－1＝3種，

當(dāng)A＝{4}時(shí)，選B的方案共有21－1＝1種．

故A是單元素集時(shí)，B有15＋7＋3＋1＝26種．

2° A為二元素集時(shí)，

A中最大元素是2，有1種，選B的方案有23－1＝7種．

A中最大元素是3，有C12種，選B的方案有22－1＝3種．故共有2×3＝6種．

A中最大元素是4，有C13種．選B的方案有21－1＝1種，故共有3×1＝3種．

故A中有兩個(gè)元素時(shí)共有7＋6＋3＝16種．

3° A為三元素集時(shí)，

A中最大元素是3，有1種，選B的方案有22－1＝3種．

A中最大元素是4，有C23＝3種，選B的'方案有1種，

∴共有3×1＝3種．

∴A為三元素時(shí)共有3＋3＝6種．

4° A為四元素時(shí)，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一種．

∴共有26＋16＋6＋1＝49種．

二、填空題

11．北京市某中學(xué)要把9臺(tái)型號(hào)相同的電腦送給西部地區(qū)的三所希望小學(xué)，每所小學(xué)至少得到2臺(tái)，共有______種不同送法．

[答案] 10

[解析] 每校先各得一臺(tái)，再將剩余6臺(tái)分成3份，用插板法解，共有C25＝10種．

12．一排7個(gè)座位分給3人坐，要求任何兩人都不得相鄰，所有不同排法的總數(shù)有________種．

[答案] 60

[解析] 對(duì)于任一種坐法，可視4個(gè)空位為0,3個(gè)人為1,2,3則所有不同坐法的種數(shù)可看作4個(gè)0和1,2,3的一種編碼，要求1,2,3不得相鄰故從4個(gè)0形成的5個(gè)空檔中選3個(gè)插入1,2,3即可．

∴不同排法有A35＝60種．

13．(09海南寧夏理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng)．若每天安排3人，則不同的安排方案共有________種(用數(shù)字作答)．

[答案] 140

[解析] 本題主要考查排列組合知識(shí)．

由題意知，若每天安排3人，則不同的安排方案有

C37C34＝140種．

14．2010年上海世博會(huì)期間，將5名志愿者分配到3個(gè)不同國(guó)家的場(chǎng)館參加接待工作，每個(gè)場(chǎng)館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)是________種．

[答案] 150

[解析] 先分組共有C35＋C25C232種，然后進(jìn)行排列，有A33種，所以共有(C35＋C25C232)A33＝150種方案．

三、解答題

15．解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.

[解析] 因?yàn)镃x2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.經(jīng)檢驗(yàn)x＝3和x＝－9不符合題意，舍去，故原方程的解為x1＝－1，x2＝1.

16．在∠MON的邊OM上有5個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，邊ON上有4個(gè)異于O點(diǎn)的點(diǎn)，以這10個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))為頂點(diǎn)，可以得到多少個(gè)三角形？

[解析] 解法1：(直接法)分幾種情況考慮：O為頂點(diǎn)的三角形中，必須另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在OM、ON上，所以有C15C14個(gè)，O不為頂點(diǎn)的三角形中，兩個(gè)頂點(diǎn)在OM上，一個(gè)頂點(diǎn)在ON上有C25C14個(gè)，一個(gè)頂點(diǎn)在OM上，兩個(gè)頂點(diǎn)在ON上有C15C24個(gè)．因?yàn)檫@是分類(lèi)問(wèn)題，所以用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有C15C14＋C25C14＋C15C24＝5×4＋10×4＋5×6＝90(個(gè))．

解法2：(間接法)先不考慮共線點(diǎn)的問(wèn)題，從10個(gè)不同元素中任取三點(diǎn)的組合數(shù)是C310，但其中OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中任取三點(diǎn)不能得到三角形，ON上的5個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中任取3點(diǎn)也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35個(gè)，即C310－C36－C35＝10×9×81×2×3－6×5×41×2×3－5×41×2＝120－20－10＝90(個(gè))．

解法3：也可以這樣考慮，把O點(diǎn)看成是OM邊上的點(diǎn)，先從OM上的6個(gè)點(diǎn)(含O點(diǎn))中取2點(diǎn)，ON上的4點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取一點(diǎn)，可得C26C14個(gè)三角形，再?gòu)腛M上的5點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取一點(diǎn)，從ON上的4點(diǎn)(不含O點(diǎn))中取兩點(diǎn)，可得C15C24個(gè)三角形，所以共有C26C14＋C15C24＝15×4＋5×6＝90(個(gè))．

17．某次足球比賽共12支球隊(duì)參加，分三個(gè)階段進(jìn)行．

(1)小組賽：經(jīng)抽簽分成甲、乙兩組，每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，以積分及凈剩球數(shù)取前兩名；

(2)半決賽：甲組第一名與乙組第二名，乙組第一名與甲組第二名作主客場(chǎng)交叉淘汰賽(每?jī)申?duì)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng))決出勝者；

(3)決賽：兩個(gè)勝隊(duì)參加決賽一場(chǎng)，決出勝負(fù)．

問(wèn)全程賽程共需比賽多少場(chǎng)？

[解析] (1)小組賽中每組6隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，就是6支球隊(duì)的任兩支球隊(duì)都要比賽一次，所需比賽的場(chǎng)次即為從6個(gè)元素中任取2個(gè)元素的組合數(shù)，所以小組賽共要比賽2C26＝30(場(chǎng))．

(2)半決賽中甲組第一名與乙組第二名(或乙組第一名與甲組第二名)主客場(chǎng)各賽一場(chǎng)，所需比賽的場(chǎng)次即為從2個(gè)元素中任取2個(gè)元素的排列數(shù)，所以半決賽共要比賽2A22＝4(場(chǎng))．

(3)決賽只需比賽1場(chǎng)，即可決出勝負(fù)．

所以全部賽程共需比賽30＋4＋1＝35(場(chǎng))．

18．有9本不同的課外書(shū)，分給甲、乙、丙三名同學(xué)，求在下列條件下，各有多少種分法？

(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；

(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；

(3)甲、乙、丙各得3本．

[分析] 由題目可獲取以下主要信息：

①9本不同的課外書(shū)分給甲、乙丙三名同學(xué)；

②題目中的3個(gè)問(wèn)題的條件不同．

解答本題先判斷是否與順序有關(guān)，然后利用相關(guān)的知識(shí)去解答．

[解析] (1)分三步完成：

第一步：從9本不同的書(shū)中，任取4本分給甲，有C49種方法；

第二步：從余下的5本書(shū)中，任取3本給乙，有C35種方法；

第三步：把剩下的書(shū)給丙有C22種方法，

∴共有不同的分法有C49C35C22＝1260(種)．

(2)分兩步完成：

第一步：將4本、3本、2本分成三組有C49C35C22種方法；

第二步：將分成的三組書(shū)分給甲、乙、丙三個(gè)人，有A33種方法，

∴共有C49C35C22A33＝7560(種)．

(3)用與(1)相同的方法求解，

得C39C36C33＝1680(種)．

高二數(shù)學(xué)試題及答案2

一、選擇題

1.已知an+1=an-3，則數(shù)列{an}是()

A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列 D.擺動(dòng)數(shù)列

解析：∵an+1-an=-30，由遞減數(shù)列的定義知B選項(xiàng)正確.故選B.

答案：B

2.設(shè)an=1n+1+1n+2+1n+3++12n+1(nN*)，則()

解析：an+1-an=(1n+2+1n+3++12n+1+12n+2+12n+3)-(1n+1+1n+2++12n+1)=12n+3-12n+1=-12n+32n+2.

∵nN*，an+1-an0.故選C.

答案：C

，的通項(xiàng)公式為()

解析：解法1：代入驗(yàn)證法.

解法2：各項(xiàng)可變形為1+12，1-12，1+12，1-12，，偶數(shù)項(xiàng)為1-12，奇數(shù)項(xiàng)為1+12.故選C.

答案：C

4.已知數(shù)列{an}滿足a1=0，an+1=an-33an+1(nN*)，則a20等于()

解析：由a2=-3，a3=3，a4=0，a5=-3，可知此數(shù)列的最小正周期為3，a20=a36+2=a2=-3，故選B.

答案：B

5.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=n2n2+1，則()

A.是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，且n=6

B.不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)

C.是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，且n=7

D.是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，且n=7

解析：由n2n2+1=，得，n2=(n=-7舍去)，故選C.

答案：C

6.若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=7(34)2n-2-3(34)n-1，則數(shù)列{an}的()

A.最大項(xiàng)為a5，最小項(xiàng)為a6

B.最大項(xiàng)為a6，最小項(xiàng)為a7

C.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)為a6

D.最大項(xiàng)為a7，最小項(xiàng)為a6

解析：令t=(34)n-1，nN+，則t(0,1]，且(34)2n-2=[(34)n-1]2=t2.

從而an=7t2-3t=7(t-314)2-928.

函數(shù)f(t)=7t2-3t在(0，314]上是減函數(shù)，在[314，1]上是增函數(shù)，所以a1是最大項(xiàng)，故選C.

答案：C

7.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=32an-3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為()

解析：

①-②得anan-1=3.

∵a1=S1=32a1-3，

a1=6，an=23n.故選D.

答案：D

8.數(shù)列{an}中，an=(-1)n+1(4n-3)，其前n項(xiàng)和為Sn，則S22-S11等于()

解析：S22=1-5+9-13+17-21+-85=-44，

S11=1-5+9-13++33-37+41=21，

S22-S11=-65.

或S22-S11=a12+a13++a22=a12+(a13+a14)+(a15+a16)++(a21+a22)=-65.故選C.

答案：C

9.在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an，則a2007等于()

解析：依次算出前幾項(xiàng)為1,5,4，-1，-5，-4,1,5,4，，發(fā)現(xiàn)周期為6，則a2007=a3=4.故選C.

答案：C

10.數(shù)列{an}中，an=(23)n-1[(23)n-1-1]，則下列敘述正確的是()

A.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)為a3

B.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)不存在

C.最大項(xiàng)不存在，最小項(xiàng)為a3

D.最大項(xiàng)為a1，最小項(xiàng)為a4

解析：令t=(23)n-1，則t=1，23，(23)2，且t(0,1]時(shí)，an=t(t-1)，an=t(t-1)=(t-12)2-14.

故最大項(xiàng)為a1=0.

當(dāng)n=3時(shí)，t=(23)n-1=49，a3=-2081;

當(dāng)n=4時(shí)，t=(23)n-1=827，a4=-152729;

又a3

答案：A

二、填空題

11.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=

則它的前8項(xiàng)依次為_(kāi)_______.

解析：將n=1,2,3，，8依次代入通項(xiàng)公式求出即可.

答案：1,3，13，7，15，11，17，15

12.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=-2n2+29n+3，則{an}中的最大項(xiàng)是第________項(xiàng).

解析：an=-2(n-294)2+8658.當(dāng)n=7時(shí)，an最大.

答案：7

13.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=log3(n+1)，則a5等于________.

解析：a5=S5-S4=log3(5+1)-log3(4+1)=log365.

答案：log365

14.給出下列公式：

①an=sinn

②an=0，n為偶數(shù)，-1n，n為奇數(shù);

③an=(-1)n+;

④an=12(-1)n+1[1-(-1)n].

其中是數(shù)列1,0，-1,0,1,0，-1,0，的通項(xiàng)公式的有________.(將所有正確公式的序號(hào)全填上)

解析：用列舉法可得.

答案：①

三、解答題

15.求出數(shù)列1,1,2,2,3,3，的一個(gè)通項(xiàng)公式.

解析：此數(shù)列化為1+12，2+02，3+12，4+02，5+12，6+02，，由分子的規(guī)律知，前項(xiàng)組成正自然數(shù)數(shù)列，后項(xiàng)組成數(shù)列1,0,1,0,1,0，.

an=n+1--1n22，

即an=14[2n+1-(-1)n](nN*).

也可用分段式表示為

16.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=(-1)n12n+1，求a3，a10，a2n-1.

解析：分別用3、10、2n-1去替換通項(xiàng)公式中的n，得

a3=(-1)3123+1=-17，

a10=(-1)101210+1=121，

a2n-1=(-1)2n-1122n-1+1=-14n-1.

17.在數(shù)列{an}中，已知a1=3，a7=15，且{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù).

(1)求此數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)將此數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)全部取出并按原來(lái)的先后順序組成一個(gè)新的數(shù)列{bn}，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

解析：(1)依題意可設(shè)通項(xiàng)公式為an=pn+q，

得p+q=3，7p+q=15.解得p=2，q=1.

{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.

(2)依題意bn=a2n=2(2n)+1=4n+1，

{bn}的通項(xiàng)公式為bn=4n+1.

18.已知an=9nn+110n(nN*)，試問(wèn)數(shù)列中有沒(méi)有最大項(xiàng)?如果有，求出最大項(xiàng)，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.

解析：∵an+1-an=(910)(n+1)(n+2)-(910)n(n+1)=(910)n+18-n9，

當(dāng)n7時(shí)，an+1-an

當(dāng)n=8時(shí)，an+1-an=0;

當(dāng)n9時(shí)，an+1-an0.

a1

故數(shù)列{an}存在最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為a8=a9=99108.