(1)因在R上f(-x)=-f(x)

表明f(x)在R上為奇函數(shù)

則f(0)=0

又在R上f(x+2)=f(x)

令x=-1

則f(-1+2)=f(-1)

即f(1)=f(-1)（I）

而f(x)在R上為奇函數(shù)

則f(-1)=-f(1)（II）

由（I）（II）知f(-1)=f(1)=0

令-1

則0<-x<1

依題有f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+1]=2^x/(4^x+1)

而在R上f(-x)=-f(x)

則-f(x)=2^x/(4^x+1)

即f(x)=-2^x/(4^x+1)

綜上知f(x)在[-1,1]上的解析式為：

f(x)=0，x=-1

f(x)=-2^x/(4^x+1)，-1

f(x)=0，x=0

f(x)=2^x/(4^x+1)，0

f(x)=0，x=1

(2)令0

則f(x2)-f(x1)=2^x2/(4^x2+1)-2^x1/(4^x1+1)=(2^x1-2^x2)[2^(x1+x2)-1]

注意到y(tǒng)=2^x為增函數(shù)，且當x>0時y>1

則2^x1-2^x2<0，2^(x1+x2)-1>0

所以f(x2)-f(x1)<0

表明f(x)在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)

(3)若方程f(x)=λ有解

則f(x)圖象與直線y=λ有交點

由（2）知f(x)在(0,1)上為減函數(shù)

而當x趨近于0時，f(x)趨近于2^0/(4^0+1)=1/2

且當x趨近于1時，f(x)趨近于2^1/(4^1+1)=2/5

（事實上，依據(jù)單調(diào)性定義易知函數(shù)g(x)=2^x/(4^x+1)在閉區(qū)間[0，1]上也是減函數(shù)）

則在(0,1)上2/5

又f(x)在R上為奇函數(shù)

則在(-1,0)上-1/2

注意到f(-1)=f(0)=f(1)=0

所以在[-1,1]上方程f(x)=λ有解的情形如下：

當λ=0時，方程f(x)=λ有三個解

當-1/2<λ<-2/5或2/5<λ<1/2方程f(x)=λ有一個解

附圖