正態(tài)分布，英語(yǔ)叫“Normal Distribution”，normal是普通的，正常的意思。如果翻譯成“普通分布”，或者“常規(guī)分布”，馬上就會(huì)想到這是在自然界中最常見(jiàn)的一種分布形式，但翻譯成“正態(tài)分布”，對(duì)于像我這種普通人來(lái)說(shuō)，很難立刻想到這是最常見(jiàn)的一種分布。 正態(tài)分布是由系統(tǒng)中連續(xù)隨機(jī)變量的 概率密度 函數(shù)定義的。設(shè) X? 是隨機(jī)變量， 是概率密度函數(shù)，即在一個(gè)無(wú)窮小的范圍內(nèi)，隨機(jī)變量出現(xiàn)的概率。 ?并且? 正態(tài)分布或高斯分布的概率密度函數(shù)公式為：其中， ? 為隨機(jī)變量； ? 為隨機(jī)變量x在整個(gè)變化范圍內(nèi) ?的平均值； 為隨機(jī)變量取值的標(biāo)準(zhǔn)差 (Standard Deviation)。 在正態(tài)分布中，所謂“隨機(jī)變量”指的是在一定變化范圍內(nèi)其值可能為任意一個(gè)數(shù)值的變量。比如說(shuō)一個(gè)學(xué)校學(xué)生的身高就是一個(gè)隨機(jī)變量，它可能為1.5 m，也可能為2.0 m，極端的情況它也可能是5 m，只不過(guò)這種可能能太低太低了。這個(gè)范圍是受到實(shí)際情況限制的，純碎數(shù)學(xué)意義上的正態(tài)分布，隨機(jī)變量的取值范圍不受實(shí)際條件的限制，可以擴(kuò)展到 ，并且可以連續(xù)變化。當(dāng)我們確定了隨機(jī)變量的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差后，概率密度函數(shù)? 也就確定下來(lái)了，那么對(duì)于上任意范圍內(nèi) X 出現(xiàn)的概率也就可以計(jì)算出來(lái)。 一般地，對(duì)于符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其標(biāo)準(zhǔn)差是大于0 的實(shí)數(shù)，表征數(shù)據(jù)的分布情況。其值越大，則數(shù)據(jù)越分散，曲線越寬泛；標(biāo)準(zhǔn)差越小，則數(shù)據(jù)越集中，曲線高而窄。正態(tài)分布的鐘形曲線是左右對(duì)稱的，對(duì)稱軸正好在平均值上，即 正態(tài)分布有任何正的標(biāo)準(zhǔn)差。如果采用標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)分割隨機(jī)變量的取值范圍，那么我們就可以確定不同范圍內(nèi)x出現(xiàn)的概率，比如： 在 范圍內(nèi)，x出現(xiàn)的概率約為68%； 在 范圍內(nèi)，x出現(xiàn)的概率約為95%； 在 范圍內(nèi)，x出現(xiàn)的概率約為99.7%。以下是正態(tài)分布的一些重要性質(zhì)： ? ? ? ? （1）在正態(tài)分布中，平均數(shù)、中位數(shù)和模相等。 ? ? ? ? （2）曲線下的總面積為1，即在全部范圍內(nèi)，隨機(jī)變量x出現(xiàn)的概率為100%。 ? ? ? ? （3）正態(tài)分布曲線以 為軸線，左右對(duì)稱分布。 ? ? ? ? （4）正態(tài)分布曲線由平均值和標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)定義。 學(xué)生的成績(jī)、人體的身高和血壓等數(shù)據(jù)都符合正態(tài)分布。但實(shí)際情況，學(xué)生的成績(jī)并不符合正態(tài)分布。正態(tài)分布咋來(lái)的呢？ 如果你要向一個(gè)直角坐標(biāo)系投擲飛鏢，目標(biāo)靶心就是直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，但你知道大部分情況下你都不會(huì)正中靶心的，假設(shè)所有的投擲都是隨機(jī)的，并且： ——隨機(jī)誤差與坐標(biāo)系的方向無(wú)關(guān)，所以你不要考慮重力會(huì)不會(huì)對(duì)飛鏢的位置有影響，現(xiàn)在我們認(rèn)為，No。 ——飛鏢的x，y方向時(shí)相互獨(dú)立的，也即是說(shuō)飛鏢落在y的位置不會(huì)影響到它在x方向的位置，反之亦然。 —— 大誤差出現(xiàn)的可能性比小誤差的小。（這個(gè)假設(shè)符合實(shí)際嗎？比如誤差為0.00001mm 和誤差為3mm， 哪個(gè)概可能性大，哪個(gè)可能性??？） 根據(jù)上述假設(shè)，在圖2中，飛鏢落在A處的可能性比落在B位置的可能性要大，同樣，落在B位置的概率又大于落在C位置的概率，因?yàn)橄鄬?duì)B，A更靠近靶心；相對(duì)于C，B更靠近靶心。右圖中，落在F區(qū)域內(nèi)的概率大于落在E區(qū)域內(nèi)的概率，后者的概率又大于D區(qū)域概率，——因?yàn)閰^(qū)域的面積依次減小。 所以飛鏢落在某一區(qū)域的概率與該區(qū)域的大小有關(guān)，因此我們可以設(shè)飛鏢落在 范圍內(nèi)的概率為 。類似地，飛鏢落在 范圍的幾率可設(shè)為 。 那么在 位置上的 區(qū)域內(nèi)，飛鏢出現(xiàn)的概率為這就是說(shuō)：方程兩邊同時(shí)對(duì)幅角 取導(dǎo)數(shù)，左邊式 中因?yàn)椴缓? ，所以導(dǎo)數(shù)為0，即將 代入上式：即對(duì)于任意不相關(guān)的 ,上述微分方程都成立，那么必然就有分別解微分方程 和 得由此，因?yàn)? 越大，概率越小，但 大于0，所以C必然小于0，設(shè) 所以有這是正態(tài)分布曲線的通用表達(dá)式，現(xiàn)在我們來(lái)確定其中的常數(shù)A和k。 我們知道，在整個(gè)取值范圍 內(nèi)，隨機(jī)變量x出現(xiàn)的幾率為1，即重新整理為因?yàn)? 為偶函數(shù)，在 位置左右對(duì)稱，所以即有同樣地，兩式相乘，得左邊用極坐標(biāo)的形式表達(dá)為左邊可積，即可得則因此概率密度函數(shù)的形式為：那么問(wèn)題是： 又怎么確定呢？ 當(dāng)我們?cè)谡務(wù)摳怕蕰r(shí)，首先想到的是平均值是什么？數(shù)據(jù)是怎么分布的？k的大小就會(huì)涉及到平均值和分布的問(wèn)題。現(xiàn)在問(wèn)題是：如果你知道概率密度函數(shù) ,那么你怎么用它來(lái)表達(dá)平均值的大小呢？首先你要理解 的含義，它表示在隨機(jī)變量在x位置 的范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率， 表示隨機(jī)變量取任意 的百分?jǐn)?shù)， 表示隨機(jī)變量為 時(shí)在平均數(shù)中的貢獻(xiàn)值，在取值范圍內(nèi)將所有的貢獻(xiàn)值加起來(lái)就是平均值了，即平均值 。類似地，方差大小可表示為 。 你知道函數(shù) 為奇函數(shù)，所以平均值 ，并且 。將 帶入到方差的表達(dá)式中，得：因?yàn)? 為偶函數(shù)，所以上式可以寫成可以看做 的一個(gè)分步積分，即有其中 所以由此根據(jù)上述三個(gè)假設(shè)，我們可以得到概率密度函數(shù)的表達(dá)式為:當(dāng)隨機(jī)變量的平均值 不為0時(shí)，正態(tài)分布的通用表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，則概率密度函數(shù)表達(dá)式為：done!