拉弗對(duì)政府收入和稅率關(guān)系的命題就是眾所周知的拉弗曲線。拉弗將政府收入和稅率關(guān)系用一個(gè)拋物線描述，頗能說(shuō)明問(wèn)題。但是，關(guān)于拉弗的這個(gè)命題的證明和來(lái)源卻少見(jiàn)提及。下面從幾個(gè)簡(jiǎn)單的公認(rèn)條件出發(fā)，用數(shù)學(xué)方法對(duì)拉弗曲線進(jìn)行推證。 在政府收稅的狀況下，社會(huì)的收入Ys被分為兩塊：政府收入Yg和民眾收入Yp。也就是：Ys＝Y(jié)g＋Yp 根據(jù)稅率r的定義，政府收入方程是：Yg＝Y(jié)s．r； 則民眾收入是政府稅收后的剩余，即：Yp＝Y(jié)s（1－r）。 Ys來(lái)源于民眾的創(chuàng)造。如果民眾不去生產(chǎn)勞動(dòng)，則政府稅收就成了無(wú)源之水。但是，從個(gè)人自私的假定可以得出，民眾只關(guān)心自己的收入，即只關(guān)心Yp的大小。民眾創(chuàng)造財(cái)富Ys的積極性取決于對(duì)自己所得的期盼，進(jìn)而受到稅率r的影響。因此，對(duì)Yp的大小的預(yù)期是影響其生產(chǎn)勞動(dòng)積極性的重要因素。 我們假設(shè)全社會(huì)的生產(chǎn)力水平在民眾積極性最大時(shí)得到充分發(fā)揮，此時(shí)的產(chǎn)出是Yo。什么時(shí)候民眾積極性最高？當(dāng)然是不收稅即稅率r＝0時(shí)的積極性最高，此時(shí)的產(chǎn)出就是最大產(chǎn)出Yo；隨著稅率提高，積極性下降，當(dāng)稅率為1時(shí)，則全無(wú)積極性。 生產(chǎn)積極性可以用預(yù)期的社會(huì)收入與最大產(chǎn)出的比例表示，即Ys∕Yo。r是被政府收取的部分，1－r是留在民眾手里的部分，不妨稱(chēng)之為“留率”。我們上面的分析表明，留下的部分越多，居民的生產(chǎn)積極性就越高。我們假定生產(chǎn)積極性隨留率增加而增加的速度是均衡的，則上面的描述就是： Ys∕Y0＝k（1－r） k為正的系數(shù)。因?yàn)楫?dāng)r＝0時(shí)，Ys＝Y(jié)o，故k＝1；當(dāng)r＝1時(shí)，Ys＝0。 變形即Ys＝Y(jié)o（1－r）。 我們將這個(gè)式子代入到政府收入方程，就是 Yg＝Y(jié)s．r＝Y(jié)o（1－r）r＝Y(jié)o（r－r^2） 這就是拉弗曲線的數(shù)學(xué)方程，它表述了當(dāng)稅率為0時(shí)，政府收入為零；而當(dāng)稅率為100％時(shí)，政府的收入也為零。這里不讓發(fā)圖