一、如何定義最大公因數(shù)

　　如果c是a的因數(shù)，c也是b的因數(shù)，那么我們稱c是a和b的公因數(shù)。一般來說，兩個數(shù)的公因數(shù)不止一個，我們把其中最大的一個公因數(shù)稱為這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。多個數(shù)之間的公因數(shù)和最大公因數(shù)也可以用類似的方法定義。

　　互質(zhì)：如果兩個數(shù)的最大公因數(shù)為1，則稱這兩個數(shù)互質(zhì)。

　　三、求最大公因數(shù)的方法

　　1、分解質(zhì)因數(shù)法

　　求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)主要有質(zhì)因數(shù)法、短除法兩種方法，接下來我們先來學(xué)習(xí)分解質(zhì)因數(shù)法。

　　考生可采用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個整數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。下面以兩個數(shù)為例進(jìn)行講解，多個整數(shù)的情況可以類推。

　　分解質(zhì)因數(shù)：每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)。

　　舉例說明：求24和60的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)?

　　

　　最大公因數(shù)是兩個數(shù)所有公有質(zhì)因數(shù)的乘積。24、60的公有質(zhì)因數(shù)是2、2、3，所以24和60的最大公因數(shù)是2×2×3=12。

　　2、短除法。

　　短除符號就是除號倒過來，在除法中寫除數(shù)的地方寫兩個數(shù)共有的質(zhì)因數(shù)，然后寫下兩個數(shù)被公有質(zhì)因數(shù)整除的商，之后再除，以此類推，直到結(jié)果互質(zhì)為止。如：

　　

　　所以24、36的最大公因數(shù)為2×2×3=12(左側(cè)3個數(shù)之積)。

　　最小公倍數(shù)為2×2×3×2×3=72(左側(cè)3個數(shù)與下邊2個數(shù)之積)。

　　三個數(shù)的情況與兩個數(shù)的情況有所區(qū)別，要仔細(xì)體會。以下舉例說明，如求12、30、150的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。

　　

　　12、30、150的最大公因數(shù)為2×3=6，最小公倍數(shù)為2×3×5×2×1×5=300。

　　通過以上的學(xué)習(xí)，我們來看一道練習(xí)題，幫助大家加強(qiáng)鞏固練習(xí)。

　　有三根鐵絲，一根長54米，一根長72米，一根長36米。要把它們截成同樣長的小段，不許剩余，每段最長是多少米?

　　A.8

　　B.12

　　C.18

　　D.24

　　正確答案：C

　　解析：要截成同樣長的小段，則截的長度應(yīng)為54、72、36的公因數(shù)。題干要求最長的長度，則應(yīng)為三個數(shù)的最大公因數(shù)，利用短除法可求得54、72、36的最大公因數(shù)是18。

　　點評：此題也可用代入排除法。題中要求的是每段最長的長度，那么應(yīng)該從最大的D項開始代入，這時會發(fā)現(xiàn)24不是54的因數(shù)，排除，再代入C項，正好滿足條件。