The solution of problems is the most characteristic and peculiar sort of voluntary thinking.

——威廉·詹姆斯（William James，美國心理學(xué)家，1842-1910）

瑛 姑

金庸（1924年3月10日-2018年10月30日）

瑛姑是金庸先生 《射雕英雄傳》中的“神算子”。在小說中，瑛姑與黃蓉是用幾道數(shù)學(xué)題過招的。黃蓉（請注意，她老爹是東邪黃藥師，擅長“奇門數(shù)術(shù)”）臨走時給瑛姑出的三道難題如下：

第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、羅、計(jì)都的“七曜九執(zhí)天竺筆算”；

第二道是“立方招兵支銀給米題”；

第三道是“鬼谷算題”："今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？"

其中第三道題最有名，涉及數(shù)論中著名的中國剩余定理，我們曾在好幾篇文章中介紹過，參見

? 一周一定理No.1 中國剩余定理

? 從《射雕英雄傳》到《九章算術(shù)注》

? 算命是胡扯，猜姓卻不然

第二道題涉及高階等差數(shù)列的求和，我也在給中學(xué)生和大學(xué)生的通俗報(bào)告中提到過，見

? 從《射雕英雄傳》到《四元玉鑒》

? 微積分之前奏1：高階等差數(shù)列的求和

至于第一題，恕我無知，至今仍不清楚金庸先生具體指的是哪個問題。毫無疑問的是，黃蓉出的第二題與第三題分別代表了我國古代數(shù)學(xué)的兩項(xiàng)杰出成就，由此可以揣測，第一題也當(dāng)如此。照西北大學(xué)數(shù)學(xué)史家曲安京教授的看法，中國古代數(shù)學(xué)有三部集大成的代表作，《九章算術(shù)》（西漢）、《數(shù)書九章》（南宋）與《四元玉鑒》（元代）。黃蓉出的第二題與第三題之詳細(xì)討論，就分別見于后兩部著作。

相信讀者已經(jīng)看出，鄙人確實(shí)是金庸的忠實(shí)粉絲。實(shí)際上，我?guī)啄昵熬陀邢敕ㄒo金庸先生寫封信，問詢他老人家何以會想到在《射雕英雄傳》中塑造這樣一個“神算子”形象，并借黃蓉之口道出中國古代數(shù)學(xué)的這些杰出成就，他又是何以了解到中國古代數(shù)學(xué)這些杰出成就的。后來我將這一想法轉(zhuǎn)告了香港中文大學(xué)的陳方正教授，他告訴我，金庸先生身體不好，建議我不要打擾，我就作罷了。

最近我從網(wǎng)上讀到一篇文章，對我的問題給出了一個指引，其中有這樣一段：

金庸年輕時在《大公報(bào)》上寫過一篇隨筆《圓周率的推算》（后來收進(jìn)《三劍樓隨筆》，全文見本號二條），里面提到一本《算學(xué)的故事》：“我在初中讀書時，教我數(shù)學(xué)的是章克標(biāo)先生*，他因?qū)懶≌f出名，為人很是滑稽，同學(xué)們經(jīng)常和他玩鬧而不大聽他講書。他曾寫過一部《算學(xué)的故事》，其中說到有一個歐洲青年花了極長的時間，把圓周率推算到小數(shù)點(diǎn)后六百多位。這個圓周率，當(dāng)然是毫無實(shí)用價(jià)值的。”

*注：章克標(biāo)（1900-2007）是東京高等師范學(xué)校數(shù)學(xué)系的學(xué)生，回國后任教于中學(xué)與大學(xué)，先教數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)向文學(xué)后，又教過語文。有興趣的讀者，可見其自傳《世紀(jì)揮手》，書名乃金庸手書。

今天我要寫的這個題目，一方面是受到黃蓉提問的啟發(fā)，另一方面也是受到金庸《天龍八部》里的一段情節(jié)（第46節(jié)，酒后君問三語，西夏公主提問招親）的啟發(fā)，有興趣的讀者可見下述視頻，我不再展開（我覺得這本質(zhì)上是一個對偶的話題：你所提出的最好的問題是什么？）：

西夏公主（毋寧說是金庸前輩）提出三個簡單的問題：

你一生中最逍遙快活的地方在哪里？

你生平最心愛的人是誰？

你最愛的這個人相貌如何？

讓天下群雄盡顯各自本色（最令人唏噓的是喬峰的回答，不過在原著中，喬峰是先行離開從而回避了這些問題）。好了，我們就此打住?，F(xiàn)在我們來看幾位著名人物所分享的刻骨銘心的數(shù)學(xué)題吧！

楊振寧（1922-）

楊振寧

在華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系張奠宙教授對楊振寧先生的訪談（參見《楊振寧和當(dāng)代數(shù)學(xué)》）中， 楊振寧先生提到了他在西南聯(lián)大時，陳省身先生給他們出的一個題目：

在西南聯(lián)大，我很可能旁聽過陳省身的好幾門數(shù)學(xué)課，但是根據(jù)保存至今的成績單，我只是在1940年秋季學(xué)期正式選修過他講授的微分幾何課程。當(dāng)時我是物理系的三年級學(xué)生。

張：這門課您有所得益吧?

楊：當(dāng)然。不過我已經(jīng)記不清楚上課的情形了，只有一件事印象很深：如何證明每一個二維曲面保角等價(jià)于平面？我知道如何把度量張量化成

的形式，但是想了很久都想不出怎樣使A=B。有一天，陳先生告訴我要用復(fù)變量，并寫下：

這個式子。學(xué)到這簡單的妙訣，是我畢生難忘的經(jīng)歷。

最近我從西北大學(xué)數(shù)學(xué)系劉建新博士的博士論文中得知，原來這結(jié)果和技巧都?xì)w功于高斯（Gauss）。楊振寧這段回顧的重點(diǎn)是，陳省身令他認(rèn)識到復(fù)數(shù)的重要性。陳省身先生常說的一句話是，復(fù)數(shù)使數(shù)學(xué)簡單化（一個最顯著的例子是代數(shù)基本定理：多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域內(nèi)必有零點(diǎn)）。我想法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪 (Hadamard) 的一句名言很能夠表達(dá)這個意思：

徐利治（1920-2019）

徐利治

在我讀過的所有中國數(shù)學(xué)家的傳記與訪談錄中，我最喜歡的是關(guān)于徐利治的一本：《徐利治訪談錄》（袁向東、郭金海訪談?wù)?，湖南教育出版社?009年）。徐利治在書中談到了許多有趣的東西，如他眼中的華羅庚、陳省身與許寶騄等（參見徐利治先生訪談錄：我所知道的華羅庚與陳省身）。他在書中分享了在西南聯(lián)大求學(xué)時請教陳省身的一道題目（見上書73-74頁）：

我在西南聯(lián)大二年級的時候，有一次到數(shù)學(xué)系辦公室請教陳先生一個級數(shù)求和問題。這個問題是：

如何計(jì)算？

陳先生看了很久，沒有回答出來。后來我才知道，這個求和問題沒有精確的公式表達(dá)，但可以用歐拉-麥克勞林求和公式（Euler–Maclaurin formula）做近似計(jì)算?？梢?，當(dāng)時陳先生的分析基礎(chǔ)也不是十分強(qiáng)。

這里徐利治先生分享了他的后見之明：這個和是求不出來的——其結(jié)果沒有一個簡單的公式表達(dá)。那么能做的，只是近似求和，即，求出這個和的一個近似值。換言之，我們所能解決的，是下述問題（請注意，這里改變了問題的提法，唯有如此，方才可解）：

問題0：求

的近似值。

徐利治想到的方法是用歐拉-麥克勞林求和。照理說，這個方法如此基本，陳省身不大可能不知道。所以，更有可能的是，陳省身裝作不知，讓徐利治自己去鉆研。

上面將問題重新表述的變通策略，正好印證了挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾（Abel）的高見：

人們應(yīng)該力求給問題一種形式，使得它總是可解的，這總是可能的。以恰當(dāng)選擇的形式提出問題，其敘述本身就會包含著解答的種子。

阿貝爾

何兆武（1921-）

何兆武

我還想到西南聯(lián)大的另一位杰出校友，他叫何兆武，著名的歷史學(xué)家。在其自傳《上學(xué)記》（何兆武口述，文靖執(zhí)筆）一書（90-91頁）中，他曾回憶起他參加1939年西南聯(lián)大高考時所遇到的一道數(shù)學(xué)題：

那一年數(shù)學(xué)考題非常之難，也不知道是誰出的，比我們中學(xué)所學(xué)的更深。其中有一個題目我還記得，在橢圓上任取一個點(diǎn)，問：把這個點(diǎn)到橢圓上每個點(diǎn)連線的中點(diǎn)連接起來，是什么圖形，并列出方程。

我知道連起來是一個內(nèi)切小橢圓，給描出來了，可是列不出公式。有個同學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)得非常好，考完了以后跟我講，這道題不能用正坐標(biāo)（即直角坐標(biāo)）表述，得用極坐標(biāo)。經(jīng)他一說，我就想起來了，所以印象特別深。另外，這件事也給了我極大的啟發(fā)，一個終生受益的啟發(fā)：當(dāng)我們的思想解釋不通的時候，就得換一個坐標(biāo)，不能死硬地按原來的模式去套。

我想，歷史中真正學(xué)術(shù)上、思想上的重大突破，大概都需要坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換。有些用原來的坐標(biāo)解釋不了了，卻仍在那里生搬硬套，是行不通的。

威廉·詹姆斯：我這一代人的最大發(fā)現(xiàn)是，個人可以通過改變其態(tài)度來改變?nèi)松?/p>

1939年高考題，即報(bào)考工學(xué)、理學(xué)、物理、化學(xué)、天文、氣象、土木、師范之?dāng)?shù)理化等專業(yè)者。當(dāng)年的命題人是江澤涵（召集人）、楊武之、姜立夫、趙淞。

1939 年國立各院校統(tǒng)一招生數(shù)學(xué)試題 (應(yīng)第二組考試者試之)

本人嘗試了一下，感覺這個問題用直角坐標(biāo)也很簡單。不過，我對何兆武先生最后的領(lǐng)會（換坐標(biāo)）深有共鳴。我們曾指出，江湖上有些算命術(shù)士很會利用坐標(biāo)，見《? 算命是胡扯，猜姓卻不然——續(xù)篇》。

順便說一句， 第一節(jié)里陳省身先生出給楊振寧的那個題目，其實(shí)就是證明曲面上存在等溫坐標(biāo)（一種方便的坐標(biāo)）。

阿諾德（V. I. Arnold，1937-2010）

阿諾德

跟俄國的許多數(shù)學(xué)大師（如柯爾莫果洛夫、蓋爾范德）一樣，阿諾德 (1937-2010) 不僅是卓有成就的數(shù)學(xué)家，也是極優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教育家。他曾寫過一本書：

其中收入了為5-15歲的孩子準(zhǔn)備的77個數(shù)學(xué)問題，有興趣的讀者，也可以參見 《一位偉大數(shù)學(xué)家給孩子出的數(shù)學(xué)題》。

我們選取其中一道分享給讀者，尤其建議那些想了解國家公務(wù)員考試數(shù)學(xué)考題的讀者考慮一下，因?yàn)閮烧咚较喈?dāng)。

問題1：甲、乙兩個老太太在日出時同時出發(fā)，甲從A地往B地走，乙從B地往A地走，都是勻速前進(jìn)。她們在正午相遇，然后繼續(xù)不停地走，甲到達(dá)B地的時間是下午4點(diǎn)，而乙到達(dá)A地的時間是下午9點(diǎn)。問，當(dāng)天日出的時間是幾點(diǎn)？

阿諾德在1991年的Notices訪談中曾說：“當(dāng)時我花了一整天的時間來思考這個老掉牙的問題，而答案則是一種出乎意料的方式得到的?！碑?dāng)時他還是小學(xué)生，不知道今天的小學(xué)生要多久才能想出答案呢？

幾個補(bǔ)充的練習(xí)

《射雕英雄傳》之東邪西毒

問題2（小學(xué)水平，加州大學(xué)伯克利分校數(shù)學(xué)系伍鴻熙教授提供）：

有一杯紅酒和一壺茶水，先從茶水中盛一勺倒入紅酒中，均勻攪拌后再盛一勺倒回茶水中。請問此時杯中含有的茶水和壺中含有的紅酒，哪個更多？如果沒有攪拌均勻，情況又會怎樣？

（有興趣的讀者，可以參考伍鴻熙教授《數(shù)學(xué)家講解小學(xué)數(shù)學(xué)》第23章“一些有趣的應(yīng)用題” 問題4，中譯本（趙潔、林開亮譯，北京大學(xué)出版社）第316頁）

問題3（小學(xué)-初中水平，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系劉建新博士提供）：

如圖，從A到B有兩條路線。綠色路線由一條豎直方向的線段和一條水平方向的線段組成；紅色路線是階梯狀的，每段線段分別是水平和豎直的。問兩條路線哪個更近？

問題4（小學(xué)-初中水平，本人經(jīng)歷，猶記當(dāng)時很多帶表的同學(xué)在撥動發(fā)條）：

在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間的哪一個時刻，手表上的時針與分針重合？

問題5（初中水平，本人初三經(jīng)歷，曾作為思考題在課堂上出給大一新生）：

在下述矩形中，已知三個角上的三角形的面積分別為3，4，5，求中間的三角形的面積。

注：對這個問題，南開數(shù)學(xué)所唐梓洲教授跟清華扶磊教授討論給出了一個小學(xué)水平的高明解法。

問題6（高中水平，西北農(nóng)林科技大學(xué)物理系劉昌勇教授提供，是1939年數(shù)學(xué)高考題第一題，見何兆武那一節(jié)的圖片）：

已知

為方程式

的一根，求其余各個根。

問題7 （高中水平，中央民族大學(xué)數(shù)學(xué)系王兢老師提供，是波利亞《怎樣解題》中譯本75頁“定義”一節(jié)的例子）：

給定一條直線，又給定一條拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，用尺規(guī)作圖找出該直線與拋物線的交點(diǎn)。

問題8（大學(xué)水平，美國加州大學(xué)爾灣分校數(shù)學(xué)系陸志勤授提供）：

證明：在n維歐氏空間中，兩兩夾角為鈍角的向量至多有 n+1 個。

問題9（大學(xué)水平，不久前準(zhǔn)備一個科普報(bào)告時遇到，是劍橋大學(xué)本科生榮譽(yù)學(xué)位考試的題目，我也不會，一并求教方家）：

如圖，證明人在深水中平穩(wěn)游泳時激起的波浪其夾角總是2arcsin(1/3)。

該題是橋大學(xué)數(shù)學(xué)系本科生主頁（）上的一個Tripos考題。

結(jié)語

歡迎大家在留言區(qū)分享那些讓你刻骨銘心的數(shù)學(xué)題（不要太難哦）。

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編輯∑Gemini