均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式，即幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)。用公式表示為：http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706635364.png />。兩數(shù)之和為定值，當(dāng)兩數(shù)發(fā)生變化時(shí)，乘積也會(huì)改變，兩數(shù)之積就存在最大值，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)乘積能取到最大值。即和定差小積最大。這個(gè)不等式在考試中具體如何考察，又如何運(yùn)用呢?現(xiàn)在湖北公務(wù)員考試網(wǎng)（http://www.xouvqe.cn/）通過一個(gè)題目來幫助大家運(yùn)用這個(gè)知識(shí)解題。

　　

例：某旅行社組團(tuán)去外地旅游，30人起成團(tuán)，每人單價(jià)800元。旅行社為吸引報(bào)團(tuán)，針對30人以上的團(tuán)隊(duì)給與優(yōu)惠，即旅行團(tuán)每增加一人，每人的單價(jià)就降低10元。當(dāng)旅行社的人數(shù)是多少時(shí)，旅行社可以獲得最大利潤?

　　

A、40人 B、45人 C、50人 D、55人

　　

答案：D。

　　

【解析】：設(shè)旅行團(tuán)的人數(shù)比30多了X人，旅行社可以獲得利潤為Y元。則根據(jù)題意可以列出函數(shù)關(guān)系式為：http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706130334.png />對于一元二次函數(shù)的求極值的方法，形如http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706810884.png />Y能取到極值。將函數(shù)解析式整理之后為：http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706673570.png />Y能取到最大值了，此時(shí)旅行社的總?cè)藬?shù)為30+25=55，所以選擇D。

　　

下面我們用均值不等式來解決這題。

　　

可以看出Y是由兩數(shù)相乘所得，但是這兩個(gè)數(shù)的和不為定值，無法直接使用均值不等式來求解，我們只要構(gòu)造出兩數(shù)和為定值就可以。把http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706771362.png />變形為http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706699253.png />此時(shí)兩個(gè)括號(hào)里的數(shù)和為定值110，只要讓兩數(shù)相等就能求出Y的最大值，即http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706251078.png />解得X=25，答案為30+25=55，所以選擇D。

　　

下面通過練習(xí)一題來鞏固一下這個(gè)方法。

　　

例：將進(jìn)貨單價(jià)為90元的某商品按100元一個(gè)出售時(shí)，能賣出500個(gè)。已知這種商品如果每個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就會(huì)減少10個(gè)，為了獲得最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少?

　　

A、110元 B、120元 C、130元 D、150元

　　

答案：B。

　　

【解析】：設(shè)在100元的基礎(chǔ)上漲價(jià)X元，總利潤為Y元。根據(jù)題意函數(shù)關(guān)系為：http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706380087.png />由均值不等式解題，可得當(dāng)http://www.xouvqe.cn/uploadfile2013/image/20210706362528.png />則售價(jià)為100+20=120元，所以選擇B。

　　

均值不等式解題，方法易學(xué)，計(jì)算簡單，基本都是口算的程度，能夠幫助提升做題的速度。

　　

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